সংখ্যার বৈচিত্র-পর্ব(৩)

যে সকল পূর্ণ সংখ্যায় উৎপাদক নেই তাদেরকে প্রাইম নাম্বার বা মৌলিক সংখ্যা বলে। খুব ভাল কথা। তাহলে ১ কি মৌলিক সংখ্যা? হুম! তাই তো, সংগা তো তাই বলছে। কিন্তু অত্যন্ত দুঃখের সাথে জানানো যাচ্ছে যে গনিতবীদগণ নিরীহ এই ১ এর সাথে অবিচার করেছেন। তারা দুঃখ ভারাক্রান্ত মন নিয়ে অতি আদরে, অনেক ভালবাসার সহিত ১ কে প্রাইম নাম্বার বা মৌলিক সংখ্যার তালিকা থেকে সরিয়ে রেখেছেন। কিন্তু কেন? কি দোষ করেছে ১?

আমরা যদি ১ এর দোষ গুন দেখতে চাই তাহলে শুধু সংগার দিকে তাকানোটা ঠিক হবে না। আসুন দেখি মৌলিক সংখ্যার শর্ত কি বলে? আমরা এই ব্যাপারটি ব্যাখ্যা করার জন্য একটি উপপাদ্যের সাহায্য নিতে পারি। উপপাদ্যটির নাম খুবই ছোট দেখুন,

উপপাদ্যটির নামঃ- The fundamental theorem of arithmetic Or Factorization Theorem.এই উপপাদ্যটিকে বলা হয় পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য।

উপপাদ্যটির ব্যাখ্যাঃ-১ এর চেয়ে বড় যে কোন পূর্ণসংখ্যাকে মৌলিক (Prime) সংখ্যার গুণফল আকারে লেখা যায় এবং তা শুধু একটি উপায়েই সম্ভব।

আমরা যদি একটু বিচক্ষনতার সাথে উপরের কথাটি কাঁটা ছেড়া করি তাহলে এরকম দুটি বিষয় দাঁড়ায়ঃ-

(ক) মৌলিক সংখ্যার গুণফল

(খ) শুধু একটি উপায়েই সম্ভব

ধরুন আমরা ১২ সংখ্যাটিকে একটু কাঁটাছেড়া করি মানে উৎপাদকে ভাঙার চেষ্টা করি। 

১২ এর উৎপাদক ১,২,৩,৪,৬ এবং ১২

১২ কে যদি মৌলিক সংখ্যার গুণফল আকারে লিখলে আমরা এই জিনিসটি পাব,১২= ২x২x৩

কিন্তু আমরা এই উৎপাদকগুলোর ভেতরে ১ গুন করে দেখতে চাই ১২ ঠিক থাকে কিনা? 

a)১x২x২x৩=১২

b)১x১x২x২x৩=১২

c)১x১x১x২x২x৩=১২

দেখুন তিনটি ক্ষেত্রেই আমরা একটি করে ১ গুন করেছি। a তে একটি b তে দুইটি c তে তিনটি ১ গুন করলেও ১২ ই পেয়েছি। বেশি বা কম নয়।তার পরও আমরা এভাবে ১ গুন করা উৎপাদকগুলো নিতে পারব না। কেন তাহলে সমস্যাটা কোথায়?

একটু খেয়াল করে দেখুন উপরে আমরা যে দুইটি শর্ত বের করেছিলাম। সেখানে দ্বীতিয় শর্তটি হল এই উৎপাদকগুলো একটিমাত্র উপায়ে লেখা যাবে। ভিন্ন ভিন্ন উপায়ে নয়। সেক্ষেত্রে আমরা ১২ এর উৎপাদকগুলোর ভেতরে গুন করতে পারছি না। আমরা যেকোন সংখ্যার উৎপাদকের ভেতরে যদি এভাবে ১ গুন করি তাহলে একাধিক উপায়ে আমরা উৎপাদকগুলো লিতে পারি যেখানে মৌলিক সংখ্যার ২ নং শর্তটি ভঙ্গ হয়।তাই ১২ এর উৎপাদকগুলো ২x২x৩ এইভাবে লিখতে হবে। এরকম সমস্যা দূরীকরনের জন্যই ১ কে মৌলিক সংখ্যার তালিকা থেকে বাদ দেওয়া হয়েছে যাতে এই সুন্দর উপপাদ্যটি ঠিক থাকে।

আমরা আরো কিছু উদাহরন দেখিঃ-

১৪= ২x৭ (১x২x৭ নয় বা ১x১x২x৭ নয়)

২৫=৫x৫ (১x৫x৫ নয় বা ১x১x১x৫x৫ নয়)

আবারো আমরা দেখতে পেলাম এই সমস্যা এড়াতে বা দুই নম্বর শর্ত মানতে ১ কে মৌলিক সংখ্যার তালিকা থেকে বাদ দিতে হচ্ছে।

তাহলে এক কি যৌগিক(Composite) সংখ্যা? না তাও নয়। কেননা আমরা জানি যৌগিক সংখ্যা হল যাদেরকে দুই বা ততোধিক পূর্ণসংখ্যার গুণফল আকারে লেখা যায়। ১ যেহেতু কোন সংখ্যার গুণফল আকারে লেখা যায় না। তাই এক যৌগিক সংখ্যা ও নয়।

এরপর সবাই ক্ষেপে গিয়ে গনিতবীদদের বললেন তাহালে আপনারাই বলুন এক কি ?

গণিতবিদগন বললেন আমরা দীপ্ত কণ্ঠে ঘোষনা করছি ১ হলো একক সংখ্যা বা Unit Number